日告げの宮 :〈太陽〉と〈地平〉の彼方の方位
JavaScript《楕円の方程式》/ 直線の傾きとベクトル方程式
アリキ パンツ 裏起毛ストレートパンツ 股下80cm レディース 5043-80 ダークブラウン 4L
⇰ エスコ ESCO 35mm 乾式ダイアモンドコアドリル EA865C-35
目 次 ( と 予 定 )
 0 - 1  図形の基本(直線と線分)   0 - 2 リョービ 高圧回転クリーナ 高圧洗浄機用 B-677
 1 - 1 STEPMOM Insulated Tumbler - Leveled Up To Step Mom  1 - 2 アルインコ 作業台CSD150F・175F用フルセット手すりセット ( CSDT17A ) アルインコ(株)住宅機器事業部
 1 - 3  直線のベクトル方程式   1 - 4 kindle paperwhite ブラック 32GB 4G+WiFi 広告なし
 2 - 1 立水栓 水栓柱 ウォータービュー ヴィンテージウッドポール カラー:ナッツ 枕木 コンクリート TOYO 東洋工業 おしゃれ 蛇口 ガーデニング 庭まわり 屋外 水  2 - 2  JavaScript で弧を描く構文 
     【平成6年初版・文庫本】 天外魔境 風雲カブキ伝リプレイ  あだちひろし 監修  2 - 3 冬のハーレムの暖かいズボン女性のベルベットの厚いラムキンのスウェットパンツ緩い冬のズボン女性のズボンズボン暖かい (Colo(sg01785)
 3 - 1 [ポールスミス]PAUL SMITHネクタイ PSJ-673  3 - 2 回転式ダイニングチェア(ダークブラウン)椅子イス
 3 - 3 ランバンコレクション ワンピース  3 - 4 専用 岸大介 トートバッグ Tシャツ
 4 - 1 バトスピ クラウンソーラー    Burberry Rainbow Vintage Check RUCKSACK バックパック
 4 - 2 DIOR HOMME - 【希少】Dior homme 15ss サインブルゾン  4 - 3 フエ HUE レディース ボトムス・パンツ Leatherette Leggings Black
 5 - 1 (まとめ) エーワン ラベルシール(インクジェット) マット紙・ホワイト A4 18面 70×42.3mm 上下余白付 28927 1冊(20シート) 〔×10セット〕[直送品]     Jo MALONE ダークアンバー&ジンジャーリリー 50ml
 5 - 2 ゴリラ 着ぐるみ 動物 コスプレ ハロウィン 仮装 衣装 マスコット ネオンピンク キングコング  特別価格Rod Pocket Window Valances Bird Flying Over Red White Lighthouse Short Curt好評販売中  方冪(ほうべき)の定理 
   ビビディバビディブティック ミニー ドレス セット 120    未来工業 パチコン(コネクタGタイプ)CD単層波付管16用 CDK-16GCT 300個価格 CDK-16GCT
 6 - 1 New Balance - 新品未使用品 MRL996AG 27.5cm グレー ニューバランス 定番カラー  6 - 2 デパートメントファイブ デニムパンツ ボトムス レディース Denim pants Grey
   グラミチ カジュアルパンツ 0157-DEJ レディース BLACKUSED M  7 - 1 VANGUARD Espod Cx 234Ap Tripod with Ph-23 Pan Head【並行輸入品】
 7 - 2 卸直販2割引!Size: 10 パターン99. PATTERN 99. フィギュアスケートブレード JOHN WILSON ジョンウィルソン 【新品】  7 - 3 BALENCIAGA バレンシアガ ボディバッグ 黒
 8 - 0  ⛞  《復習》 円の方程式 ⛞   8 - 1 食器棚 キッチン収納 幅60cm ホワイト 上置き 飛散防止ガラス扉 耐震ラッチ 可動棚付 日本製 マルチボード 完成品 開梱設置〔代引不可〕[21]
 8 - 2 THE NORTH FACE キッズ バルトロ ダウン 120cm  8 - 3 トラスコ パレットカバーブルーシート1500X1500XH1300 (1枚) 品番:P-15A
 8 - 4  双曲線を描く   8 - 5 レア♡ジェラートトリムボーダー セットアップ♡ネイビー
 9 - 1 ボルコム Lil Fleece Pants レディース ズボン パンツ Black 1  9 - 2  Canvas に描く 円の接線の計算 
 9 - 3 安心の国内発送♪Christian Louboutin Citypouch クラッチバッグ  9 - 4 CREATOR×CREATOR ハイキュー OIKAWA TORU ノーマルカラー フィギュア
 9 - 5 ★最新作22SS♪国内即納★ルイヴィトン パナマ・ラインサンダル  9 - 6 Gloverall グローバーオール Pコート ピーコート
 
 
 
 10 - 1 【MARNI】レザー★チェーンショルダー ナノ デポ バッグ Blue  10 - 2 金運 瓢箪 チャーム 金の フクロウ + シトリン + アメジスト
 10 - 3  n 次関数の微分   10 - 4 Ann demeulemeester レザーグローブ
    アリキ パンツ 裏起毛ストレートパンツ 股下75cm レディース 5043-75 ブラック M  11 - 1  螺旋(らせん):  数列について 
 SUGAR CANE LIGHTBORDERL/S T-SHIRTStyle No.SC68129 【超美品】PRADA プラダ サフィアーノレザー コインケース  11 - 3  黄金分割 / 五芒星 
 11 - 4 大人もOK! Le Mu★ Pink サテンロングドレス ★ 11-12Y~13-14Y  11 - 5 [4個セット]DSL-5395YWG 大光電機 ダクトレール用スポットライト
 12 - 1 【20AW NEW】 BRUNELLO CUCINELLI_men / カラーブロックダウン /  12 - 2 アンネッテ イタリア モダール パジャマ ルームウェア レース 柔らかい生地
 12 - 1 正規直営店買付【MaxMara】 ピュア コットン ダスター コート  12 - 4 EPOCA - まるまるこ様ご専用 エポカ セット
 12 - 5  虚数  i  (Imaginary number)   12 - 6 ジーンズレディースハイウエストストレッチリッピングジーンズファッションデニム全長パンツスキニージーンズ (Color : B(sg06439)
 13 - 1 JOHN LOBB - ジョンロブ 2010 イヤーモデル  13 - 2  双曲線と楕円の焦点 
 13 - 3 新品 carhartt カーハート アクティブジャケット M 米製  13 - 4 Cordoba C7 CD Classical Acoustic Nylon String Guitar, Iberia Series
 13 - 5 【新品】Paul Smith ポールスミス ネクタイピン  13 - 6 木彫仏像/阿弥陀三尊総金箔 弥陀88cm観音勢至60cm桧木【受注生産】
 14 - 1 CB400Fオイルクーラー ヨンフォアオイルクーラー コアのみ!  14 - 2 (まとめ) エーワン ラベルシール(プリンター兼用) キレイにはがせるタイプ マット紙・ホワイト A4判 21面 70×42.3mm 31257 1冊(10シート) 〔×10セット〕
 14 - 3 グラミチ ロングパンツ CORDUROY SOFT BALLOON PANTS レディース BLACK 日本 S (日本サイズS相当)  14 - 4 【並行輸入品】GUESS Naya Double Zip Crossbody, Black
 14 - 5  積分で計算する円と楕円の面積   14 - 6 Dior - Dior スカーフ
     Panasonic LEDシーリングライト HH-CE1292A  15 - 0 TAIYO 高性能油圧シリンダ 140H-8R1TC100BB450-ABAH2
 15 - 1 飛騨産業 侭 オーダーテーブル ツートン ウォールナット 長方形 板脚 天板厚3cm 幅110cm-幅130cm JIN HIDA 国産  15 - 2 NEC トナーカートリッジ シアン PR-L5800C-13 1個
 15 - 3  ホイヘンスの原理   15 - 4 TOTO キッチン水栓 TKS05307J & 浄水カートリッジ 高性能タイプ 3個入(約1年分) TH658-3【セット買い】
EaseUS ディスクコピー 最新版
図形の基本(線分と円)

 

  これからパソコンの画面に描いていく図形の基礎・基本は、直線(正確には線分)と円になります。

 

―― と、前回の冒頭に書いて、直線は数学的にどのように表現されるのかを調べてきました。今回は、円について、少し考えてみましょう。

 

 前回の繰り返しになりますけれど実は、ユークリッド幾何学の定義では、直線と円を区分できないのではないかと、疑っているのです。
 前回参照した、[スリクソン] スカート RGWQJE02 レディース (BL00(ブルー) LL)の邦訳によれば、その「第 1 巻」の最初の〈定義〉に、
などの、数学的な約束ごとが書かれていました。そこでいま一度、〈直線の定義〉雅漆工芸 のせびつ 30cm 5-23-16 送料無料
ax + by + c = 0
と記述される二元一次方程式の枠内にあるとは、限らないのではないか、ということなのです。

 

―― このことについて前回に考えを述べた一節を再掲します。
【代引き不可】 ズボン パンツ ファッション 女性用 レディース ビーチライオット Riot Beach Ayla Pink - Leggings その他ボトムス、パンツ
【代引き不可】 ズボン パンツ ファッション 女性用 レディース ビーチライオット Riot Beach Ayla Pink - Leggings その他ボトムス、パンツ
ilovela/sxvif8qi105in0r-6763-ilQ
7,625円 12,708円
Beach Riot Ayla Leggings | SHOPBOP, Beach Riot Ayla Leggings | SHOPBOP, Beach Riot Ayla Leggings | SHOPBOP, Beach Riot Ayla Leggings | SHOPBOP, Beach Riot Ayla Leggings | SHOPBOP, Beach Riot Ayla Leggings | SHOPBOP, Beach Pants, Women's Fashion, Bottoms, Other Bottoms on Carousell

Beach Riot Ayla Leggings | SHOPBOP
Beach Riot Ayla Leggings | SHOPBOP
Beach Riot Ayla Leggings | SHOPBOP
Beach Riot Ayla Leggings | SHOPBOP
Beach Riot Ayla Leggings | SHOPBOP
Beach Riot Ayla Leggings | SHOPBOP
Beach Pants, Women's Fashion, Bottoms, Other Bottoms on Carousell

  かくして「定義 4.」によって、ユークリッドの〈直線の定義〉は「直線とはその上にある点について一様に横たわる線である」と、いうことになるのですけれども、そこでは平面図形を考察の対象としているからでしょうか、曲率(曲線または曲面のまがりの程度)がゼロであることが示されていないため、あろうことか、〈円周〉についても「その上にある点について一様な曲がりかたで横たわる線である」と、同様の表現ができることになってしまいます。
―― となればならぬか、「その上にある点について一様に横たわる線」がそのまま、ただちに《無限の長さ》をもつことにはならなくなってしまうのですね。

 ○ ここで辞書の記述もまた、再確認しておきましょう。

ちょくせん【直線
①まっすぐのすじ。まっすぐな線。
②〔数〕終始同一方向をもつ線、二点間を最短距離で結ぶ線、n 次元空間内で助変数 t により座標が t の一次式 xiaibi t (i = 1, 2, , n ) で与えられる点 (壁掛け時計 かけ時計 おしゃれ シンプル ウォールクロック 時計 新築祝い インテリア 部屋 壁掛け アンティーク g6811, x2, こたつ用掛け布団 単品 幅200cm 長さ300cm 長方形 ヴィンテージ調 こたつ掛け布団 こたつ布団 おすすめ おしゃれ 秋 冬 コタツ布団 手洗い 洗える 炬燵布団, xn ) の軌跡、などと定義される概念。ユークリッド幾何学においては、点・平面とともに基礎的な対象物、無定義用語として扱う。
ちょくせんきょり【直線距離
二点を結ぶ直線に沿う距離。幾何学上の最短距離。

 

 ◈ 辞書の説明にあるように、直線が「二点間を最短距離で結ぶ線」だとして、その座標が〝球面座標〟である場合を、地球表面の 2 地点を例に考えてみましょう。
 たとえば飛行機が〝二点間を最短距離〟で飛ぼうとする際には、〝地球の中心と二点間を結ぶ線〟を想定して、その 2 つの線を含む平面で地球を半分に切った円を考えます。その円の円周をふたつに分けているふたつの地点を見て〝二点間の距離の短いほう〟が、〝二点間の最短距離〟になるので、その上空を飛べばいいわけです。

 

A  °    ||    B  °
[ ※ 左の図は球体ではなく、仮に、円を平面図形で表現していて、円周上の 2 点を A, B とします。]
[ ※ 左の図で円周の太線の部分を AB といい、また線分 AB AB といいます。]
[ ※ 右の図の円は、 AB の長さを直径としています。参考として、 AB と同じものも描いています。]

 ⛞ コピペして、そのまま使えるように、JavaScript プログラムに関する全文を掲載します。
【 ※ サンプル・プログラム(見本)として公開します。】
【 ※ プログラムそのままの利用や一部のスクリプトの改変などは自由ですが、すべて自己責任で願います。】

 

〔 * テキストエリアをクリックしたあと Ctrl + A で文字列の全選択ができます 〕
❖ JavaScript 1-1


◎ さて。このとき〝二点間の最短距離〟を一部分として含む「二点間を最短距離で結ぶ線」のすべては、その円の円周上の点の集合となりますので、はてさて、いくら無限に伸ばそうとしてもいかんせん有限な長さとなってしまい、ようするに無限ではなくなるのです。
【一点物】 アクアマリン バングル Bracelet ブレスレット Bangle 腕輪 ブレス バングル 数珠 Aquamarine ミルキーアクア メンズ レディース 一点物
◎ このあとすぐ見るように、ユークリッド幾何学には、
円とは、平面上の、その周といわれるただ一つの線によってかこまれた図形であって、その内部の 1 点からその線にいたる線分がすべて相等しいものである。
という円についての前提条件があって、中学向けの参考書では、点 O を中心とする半径 r〈円の定義〉は〝平面上の点 O から等距離 r にある点の集まり〟というふうに、説明されています。
 ◈ つまり、平面上の 1 点から等距離にある点の集合を、といっているわけです。
 ◈ この点の集合は《円の方程式》として表現することができ、(まとめ) TANOSEE 規格袋 11号0.02×200×300mm 1パック(100枚) 〔×50セット〕〔沖縄離島発送不可〕
x2 + y2 = r2

 

 
公理とユークリッド幾何学

 

 ○ しかしながらも、なにはともあれ、古代ギリシャに展開したユークリッドの幾何学は、現代の数学的思考の基盤になっているのです。そのことについての、専門家の解説を参照しておきましょう。

まえがき
 (p. 3)
 本書は 1955 年に小山書店から出版された『新初等数学講座』を構成する諸書のうちの二冊:
公 理(彌永昌吉・赤攝也)
基礎論(赤攝也)
を合わせて一冊としたものである。(なお、この『新初等数学講座』は 1963 年にダイヤモンド社より再刊された。)そのうちの「公理」が本書の第 1 章、「基礎論」が第 2 章と第 3 章になっている。一冊にする際、書名を『公理と証明』とした。

【代引き不可】 ズボン パンツ ファッション 女性用 レディース ビーチライオット Riot Beach Ayla Pink - Leggings その他ボトムス、パンツ サイズ等:XL

【代引き不可】 ズボン パンツ ファッション 女性用 レディース ビーチライオット Riot Beach Ayla Pink - Leggings その他ボトムス、パンツ サイズ等:XL

§1 公理とは何か
 〝公理とは何か〟という問に対して、辞書に書いてあるように〝それは理論の基礎になる命題である〟とでも答えるならば、一応の説明にはなるであろう。しかしそれでは、〝理論〟とは何か、〝基礎になる〟とは何のことか、〝命題〟とは何か、と追求される熱心な読者があることであろう。
 実は、そのように追求してゆく精神があればこそ、公理などというものに人類が到達したのである。
§2 ギリシアの数学
 (pp. 12-13)
 エジプトやバビロニアの実態が知られるようになったのは比較的近年のことである。1930 年代から、そのころゲッチンゲンにいた(のちアメリカに渡った)オットー・ノイゲバウアー (O. Neugebauer, 1899~1990) がクサビ形文字でしるされたバビロニアの数学文献を解読して、ハムラビ王朝のころ(紀元前 1700 年ごろ)発達していた数学の内容をだいぶ明らかにした。エジプト文献の解読は、それ以前からも行われていたが、この方面の研究もやはり 1930 年代から著しく進歩したのである。19 世紀の終りから 20 世紀の初めにかけて出版された有名なモーリツ・カントルの数学史の書物などには、ギリシア以前のことはほとんど書いてない。
 しかし〝数学がギリシアでできた〟という〝定説〟の根拠はカントルの責任ではない。最近の数学史の進歩によっても、あるいは進歩すればするほど、ギリシア以前の数学と、ギリシア以後の数学との間には、(たとえ同じ〝数学〟の名で呼ぶにしても)本質的な区別のあることが明らかになってくるのである。その本質的な区別を一口でいえば、ギリシア以前の数学には〝公理がなかった〟ということである。語をかえていえば、ギリシアではじめて理論の基礎 ―― 公理というものを明らかにしたところの体系化された数学が現われたのである。今日の数学はギリシアでできた思想をそのまま受けついで進んでいる。その意味で、ギリシアで数学ができた、ということが定説として受け入れられているのである。
§3 プラトン、アリストテレス、エウクレイデス
 (pp. 14-15)
 ギリシア人は合理的に考えることを好む民族であった。それはプラトンの諸著作の中に批判の対象として扱われているソフィストの言論にもすでに見られる。プラトンは理路整然と展開されるソクラテスの対話のうちにかれの理想主義の哲学を述べた。その中には、数学についても一再ならず言及がなされている。アリストテレスに至っては、次の明確な記述がある:
 〝証明的な学問は、証明されない原理 ―― 第一原理 ―― から出発しなければならない。そうでなければ、証明はどこまでも続いて終るところがないであろう。これらの証明されない原理のうち、あるものはすべての科学に共通であろう。また他のものはその科学に特有なものであろう。このすべての科学に共通な原理を公理という。例えば、等しいものから等しいものをとり去った残りは相等しい、という原理がそれである。……〟(アリストテレスはここで公理 axiom という語(の原語)を用いている。原語のギリシア語としての意味は、正しいこと、価値あること、というような含みである。)
 ギリシア数学の集大成とみられるエウクレイデス(ユークリッド)の〝TOO スタンダードマットペーパー厚口 914mmx25m IJR36-02PD 代引不可〟(原論)は、〝証明的な学問〟の最初の例であった。プラトンの諸著作にあらわれるソクラテスも〝理路整然〟といろいろなことを証明してはいるが、それは弁証法的、文学的であって、とうていストイケイアの本格的な〝証明〟には及ばない。このストイケイア自身一朝一夕にできたのではないのであって、エウクレイデスは編集者にすぎないともいわれているが、ともかくここに〝証明によって組織づけられた体系的な学問〟の典型が与えられた。これはギリシアの文化遺産としても最大のものの一つであった。
§4 ストイケイアの書き出し
 (pp. 15-18)
 ストイケイアの最初の部分は、わが国でもすでに何回か紹介されている(たとえば、近藤洋逸、黒田孝郎両氏の〝数学史〟(中教出版)、彌永昌吉の〝現代数学の基礎概念〟上(弘文堂)、吉田洋一氏および赤攝也の〝数学序説〟(培風館)等)。
 それを読むのはかなり退屈であるが公理がどういうものかを知るには一度は見ておかなければならないものであるから、ここに再録することにする。
 つぎに〝面〟〝平面〟〝角〟〝平角〟〝直角〟〝鋭角〟〝鈍角〟(定義 5 ―定義 12)の定義があるが、ここでは省略する。
  1.  境界とは、或る物の終るところである。
  2.  図形とは、一つ或いは多くの境界によってかこまれたものである。
  3.  円とは、平面上の、その周といわれるただ一つの線によってかこまれた図形であって、その内部の 1 点からその線にいたる線分がすべて相等しいものである。
  4.  その 1 点を円の中心という。
 このつぎには、〝直径〟〝半円〟〝直線図形〟〝三角形〟〝四辺形〟〝多辺形〟〝等辺三角形〟〝二等辺三角形〟〝不等辺三角形〟〝直角三角形〟〝正方形〟などの定義が述べられ、そして最後には〝平行〟の定義がやってくる。
  1.  同一平面上にある二つの直線は、その各々を両方に限りなく延長しても交わらないとき、平行であると称する。

 

 

§5 ストイケイアの構成
 (pp. 19-21)
 まず、上にも見られる通り、ストイケイアは〝定義〟から書きはじめられる。これは、周知のごとく、以下の理論の中に用いられることばの意味を限定するためのものに他ならない。
 一般に、学問においては、用語の意味がはっきりしていない場合には、議論をすすめるのに非常に不便であるのみならず、しばしば、重大な困難のあらわれることがあるのである。それは、例えば〝大きい〟というようなごく卑近なことばでさえも、その使い方をはっきり限定しておかないと、〝地球は大きい〟〝いや小さい〟などと、収拾がつかなくなってしまうことからも察せられるであろう。
 したがって、エウクレイデスは、理論をはじめるに際し、その理論の中にでてくる種々のことばを、十分わかったことばを基礎として、はっきり限定しようとするのである。それが〝定義〟に他ならない。
 さて、その定義のつぎには〝公準〟及び〝公理〟がくる。
 上に引用したアリストテレスのことばの中にも見られるように、すべての証明的な学問は、証明されない〝第一原理〟から出発しなければならない。
 そもそも、なにものかを主張するためには、その根拠となるものが必要である。ところで、その根拠となるものを主張するためには、またその根拠が必要となってくる。この限りのない操作をどこかで打ち切るためには、どうしても、他の根拠をもちだしてきて証明する、というような必要が全くない位あきらかな〝原理〟を探しださなくてはならないであろう。―― アリストテレスのいうのは、こういう意味なのである。
 ところで、エウクレイデスは、アリストテレスもいったように、この第一原理には、すべての学問に共通なものと、或る学問に特有なものとの二種があると考えたのであった。しかして、その前者をアリストテレスと同様〝公理〟と名づけ、また、後者に相当するものを〝公準〟と称しているのである。
 いずれにせよ、これらは、ストイケイアに展開される理論の基礎となるものであり、したがって、ストイケイアが正しい真理を伝えるものであるためには、これらは、すべての人に対して、何らの証明なしに、極めて明らかなものと認められなければならない。
 事実、これらの命題は、一々読んで見ればわかる通り、それぞれ、いかにも、もっともなことを主張しているわけである。
 ところで、話はかわるが、よく考えて見れば、アリストテレスやエウクレイデスの採用した公理と公準との区別は、厳密にいえば極めてむずかしいことなのである。例えば、〝互に他をおおうものは相等しい〟などという命題が、このストイケイアの関係する学問 ―― 幾何学 ―― 以外にそんなに必要なものであるかどうかは、たいへんうたがわしい、とも考えられるであろう。
 一方、論理的にいえば、公理も公準も、ともに理論の基礎となるところの命題なのであって、その役割には、別に軽重もなければ、また部面の区別も見られない。
 このようなところから、後世、その名称の使いわけは廃止され、一つの学問に必要な第一原理は、すべてこれを一律にその学問の〝公理〟というようになったのであった。
 われわれが本書で関与する〝公理〟とは、アリストテレスやエウクレイデスのいう公理ではなく、今のべたような〝学問の第一原理〟としての公理なのである。

 


 

The End of Takechan
直線のベクトル方程式
 ○ ベクトル方程式についての解説を、ブルーバックスから参照して、そのあとに直線の傾きを考えてみます。

 第 1 章 ベクトル・初めの一歩

 

基礎の基礎
 (pp. 8-9)
 A の位置にあった点が B まで動いたとき、途中の経路を無視して右図〔図は省略〕のように矢線↗で示したものを有向線分 AB、記号では AB と表し、A を始点、B を終点といいます。
 これに対しベクトルは、有向線分と同じように向きと大きさを持った量ですが、同じ向きと大きさであれば A を始点としなくても等しいと見なすところが、単なる有向線分 AB とは異なります。
 たとえば、x 方向の変位が a1y 方向の変位が a2 の右図〔図は省略〕のような有向線分はすべて同じものと見なし、これらをまとめてベクトルと称し、記号で a と書き表します。ベクトル AB と言うこともありますが、このときの ABa 族を指し示す 1 つの代表としての呼称なのです。
 なお、a1a2 をベクトルの成分といい、これを用いてベクトル aa⃗ = (a1, a2) と表すとき、これを a の成分表示といいます。

 

位置ベクトルと点
 (p. 15)
 平面上に一点 O を固定して考えると、平面上の任意の点 P は有向線分で OP と書ける。逆に、ベクトル pCKD コンパクトシリンダ高荷重形スイッチ付 SSD-KL-100-40 [A092321] を与えると、OP = p の終点として点 P が定まるから、平面上の点 PO からのベクトル p 1 1 に対応します。この p を点 O に関する点 P の位置ベクトルといい、位置ベクトル p をもつ点 PP (p⃗) と書き表します。
 第 6 章 直線の方程式と円の方程式

 

直線のベクトル方程式
 (pp. 104-105)
先生 1 次方程式、たとえば y = (1∕2) x + 1 が座標平面上で直線を表すことは、中学で学習していますが、初めて習ったときのことを思い出しながら、この直線を描いてみよう。
太郎 まず、y 切片 (0, 1) をドットして、次に傾きを考えて、そこから x 座標で 2 進むと y 座標が 1 増えるように直線を伸ばしていきます。
先生 そうです。どこか通る 1 点( y 切片)と傾きをもとに描きますね。これをベクトルに置き換えるとどうなるか、考えてみましょう。
 通る点 A (0, 1)a⃗ = (0, 1) とし、傾き、つまり 2 進むと 1 上がることをベクトルで d⃗ = (2, 1) と表します。すると、直線上の任意の点 P (x, y) は、この点の位置ベクトルを OP = p とおくと、ad とパラメーター t によって、
p⃗ = a⃗ + td ……… ①
[ (x, y) = (0, 1) + t (2, 1) ……… ①´ ]
と表すことができます。t は実数値で、t の値が 1 増すごとに d 1 スパンずつを刻みながら動いていって、P は直線を形成していくわけです。
 ① あるいは ①´ を、直線のベクトル方程式といいます。

 

 (pp. 105-106)
先生 d はその飛んで行く方向を(大きさも含めて)表していて、方向ベクトル (direction vector) と呼ばれます。
 ベクトル方程式 p⃗ = a⃗ + td を見たら、d 方向に時間 t と共に定速で動く点 P Lexar Professional 1066 x 256 GB VPG-65 CompactFlashカード CCRNA1066(最大160 MB/sの読み取り)w/無料Image Rescue 5ソフトウェアLCFp⃗) を思い浮かべてほしいものです。
 一般に、定点 A (a⃗) を通り、定ベクトル d に平行な直線 l は、l 上の任意の点を P (p⃗) とすると、APd だから適当な実数 t によって AP = td すなわち、p⃗ - a⃗ = td と書けるから P (p⃗)p⃗ = a⃗ + td t は実数)と表すことができます。これが、一般の直線 l のベクトルによる方程式であり、d は方向ベクトルと呼ばれ、パラメーター t媒介変数ともいわれます。
 さて、今度は逆にベクトル方程式で p⃗ = a⃗ + td と表された直線を直交座標の方程式に直すことを考えましょう。
 点 A (x1, y1) を通り、方向ベクトルが d⃗ = (m, n) である直線 l の座標の間に成り立つ方程式はどうなるかな?
太郎 方向ベクトルは傾きの情報に変換できて、m ≠ 0 のときは傾きが nm ということですから、公式から
yy1 =    n   (xx1) ………(*)
 
 m 
となります。なお、m = 0 のときは y 軸に平行な直線だから、x = x1 と表されます。

 


 ● [切片]と[直線の傾き]の ベクトルの和(足し算) ●

【代引き不可】 ズボン パンツ ファッション 女性用 レディース ビーチライオット Riot Beach Ayla Pink - Leggings その他ボトムス、パンツ サイズ等:XL

 [切片] a ( 0 , ) + [時間] t  × [傾き] d  °
 〔 ※ ただし、[時間]t = 1 のとき、 [傾き]d の長さを円の半径 r = 1 とします。〕
❖ JavaScript 1-2

 

直線の傾きと互いに直交する直線
 (まとめ)ビュートン PPフラットファイルA3横型 イエロー FF-A3E-Y(×20セット) の考察へ

[ミラオーウェン] センターコバテーパードパンツ 09WFP205115 レディース (BRW 1)

╱ 一般的に、直線の傾きは m の記号が用いられますが、直線の傾き m とは、つまり x 1 増えるごとに、y がどの程度増えるかを計算したものなので、直線が原点を通るときには、単純に xy の値を割り算して、
♦  m =     y  
 
x
という簡単な式になるわけです。ここで〔左辺と右辺の〕両辺に x を掛けてみましょう。
     mxy
  ∴  ymx

 

◎ さらにこの ma に置き換えたら、原点を通る直線(比例)のグラフと、同じ式だと気がつくでしょう。


▶ さて、傾き m の直線がいつでも原点を通るわけではありません。そこで条件を追加して、点 (x1, y1) を通る場合を考えると、x 軸と y 軸それぞれで、座標の値の差を出してから割り算する式になります。
◈  m =     yy1  
 
xx1
   ●  yy1m (xx1)

 

▸ この方程式[ yy1m (xx1) ]が、《点 (x1, y1) を通る 傾き mDell Intel Xeon e5???2403?V2クアッドコア4コア1.80?GHzプロセッサー・アップグレード???ソケットb2?l

◎ またこの条件を〝点 (0, b) を通る傾き a の直線〟とするなら、切片が追加された比例の式になります。

 

a =     yb  
 
x
   axyb    [ ⇒ axby ]

 

∴  yaxb

 


【代引き不可】 ズボン パンツ ファッション 女性用 レディース ビーチライオット Riot Beach Ayla Pink - Leggings その他ボトムス、パンツ サイズ等:XL

▶ さてさて。点 (x1, y1) を通る傾き m の直線が、今度はさらに、点 (x2, y2) も同時に通る場合を考えて、方程式を作成してみましょう。まったくもって同じような、引き算と割り算を使った式を書けばいいわけです。
◈  m =     y2y1  
 
x2x1

 


▸ この方程式の m と、先の方程式[ yy1新品Nemco - - Easy Tomato Slicer II 3/16 in Slice Tomato Cutterm (xx1) ]の m は、前提条件として同じ値となっているため、ふたつの方程式を〔それぞれの m にもうひとつの方程式の右辺を代入して〕組み合わせることで、数学の新しい方程式ができていくという、仕組みになっています。

 ◈  m =     yy1       [ ●  yy1m (xx1) ]
 
xx1
 ◈  m =     y2y1  
 
x2x1

▸ それぞれの組み合わせの結果、下記の《 2 (x1, y1), (x2, y2) を通る 直線の方程式》が成立するのです。
●  yy1  =     y2y1    (xx1)
 
x2x1
●     yy1     =     y2y1  
   
xx1 x2x1
並行輸入品 15'' Magnetic Wooden Chess Set Folding Board, Handmade Portable Travel Ches
● 〝直交する直線〟の 公式 ●

 

▶ それぞれ傾き m1m2 のふたつの直線が、垂直に交わるときには、次の条件が成り立ちます。
  ● m1 m2 = - 1

 


▸ 垂直に交わる直線を区別して書く際、傾き m1m2 の直線の方程式は、たとえば次のように書きます。
 ◈  ym1 xn1    [ y1m1 x1n1 ]
 ◈  ym2 xn2    [ y2m2 x2n2 ]

╱ Bertha Hadley Women's Sunglasses - Black/Purple-Pink 並行輸入品、直線の傾き m とは、つまり x 1 増えるごとに、y がどの程度増えるかを計算したものなので、直線が原点を通るときには、単純に xy の値を割り算すれば、そのまま傾きの値になったのでした。
[回転]   °

 

▶ そこで、次の式が成立します。
♦  m1 =     y1  
 
x1
♦  m2 =     y2  
 
x2
◎ 公式により、m【新品】Ann Clark Cookie Cutters ワンジーのクッキー型 - 10.8 cm - 米国製スチール【並行輸入品】 m2 = - 1 とすると、
●      y1     ×     y2     = - 1
   
x1 x2
∴     y2     = - 1 ×     x1  
   
  x2     WD_BLACK SN850 1TB NVMe Internal Gaming SSD; PCIe Gen4 Technology, up to 701  
ということは、ようするに、
∴  m2 =   x1
 
  - y1  
である場合〔など〕に、垂直に交わる直線の公式が成り立っているようだ、ということが理解できます。
〔 ※ 見本は y1 ですが、分母と分子を入れ替えて、x, y 座標のどちらかに、- 1 を掛けたら、成立します。〕

◎ 上の図は、実際そうであるのか[ (x2, y2) = ( -y1, x1) ]を具体的な数字を使って検証するために、作図したものです。各辺の比が 3 : 4 : 5 の三角形が直角三角形になることを利用すると、理解しやすく計算も簡単です。

 

 最初に、P (x1, y1) = (4, 3) の座標を基準に直角三角形を作って検証します。その後の作業で、それを回転させても同様であることが、見た目で確認できるはずです。
P の傾きを m1 とし、Q の傾きを m2 としたとき、最初の座標は Q (x2, y2) = (-3, 4) になります。
〔 ※ なお、傾きは x, y 座標の比率ですので、 (x1, y1) = (4, 3)(x2, y2) = (-30, 40) でも、同じ計算になります。〕
m1 × m2 =     3     ×   4   = - 1
   
  4     - 3  

 

▸ あとは、図の三角形を回転させてから、座標を読み取って、それぞれで計算してみてください。

❖ JavaScript 1-3


⛞ 垂直に交差するふたつの直線に関しては、三角関数(三角比の関数)で計算すると理解しやすい場合がありますので、あらためてもう一度、考えてみたいと思います。
マキタ [KP0800A] 82ミリカンナ KP-0800A【送料無料】
⇽ 前のページ 次のページ ⇾
 図形の基本(直線と線分) NOGA Carmex超硬ソリッドミニミルスレッド シャンク径6×M8.0×1.25×首下18.0 M0606C181.25ISO ▼333-1521 カーメックス社
香炉香炉純銅家庭用パン香炉屋内仏礼拝ライン香炉香炉家の装飾工芸品置物
NIXLENDING.COM RSS